今天我上课的题目是自行车里的数学。同学们，上课，请坐。同学们，自行车你们骑过没有？嗯，都很熟悉，经常在家里骑。那你们有没有想过，自行车里面其实也藏着数学的秘密呢？这节课我们就一起来研究自行车里的数学。
还记得昨天老师跟同学们进行了一场自行车比赛，我们来重温一下。当时气喘吁吁的场景，唉，我发现有同学又忍不住开始笑了。我好奇地问一问，你们到底笑什么呢？哈哈哈，他们觉得小杰同学骑的是轮子那么小的自行车，而老师骑的是轮子那么大的变速自行车。结果呢？小朋友们，因为大人……哈哈哈，其实我也在想，难道是老师的体力不够吗？其实我平时也经常锻炼呀。还有同学认为可能是两辆车的结构不一样，导致了它们前进的速度不一样。那同学们，你知道自行车是怎么前进的吗？
你来说说。嗯，真有条理，看来课前没少花功夫啊。自行车要前进，首先要脚踩踏板，然后踩脚踏板之后带动前齿轮的转动，前齿轮通过链条带动什么？嘿，后齿轮的转动，然后后齿轮带动车轮，这样自行车就可以……唉，不错。嘿，他说，这样就可以前进了哦。
原来自行车是这样前进的，首先要踩脚踏板，可是我明明记得我踩脚踏板的时候速度挺快的呀。嗯，你们觉得动得快不一定速度就快。难道老师蹬一圈所走的距离跟小杰蹬一圈所走的距离会不一样吗？嗯，你认为不一样，有所怀疑。那既然这样，我们就一起来研究自行车蹬一圈到底能走多远这个问题，好不好？请大家过来看一看。能走多远是什么意思呢？你来说。嗯，不错，很有条理，它这里能走多远相当于自行车蹬一圈向前所行驶的距离。当然也像刚刚那个同学所讲的，我们可以测量蹬一圈后车轮滚动了多少。嗯，看来我们就这样来解决这个问题的话，你想想有什么办法去解决呢？测量，哼哼，没错，我们最常用的办法就是直接测量它到底能有多远呐。昨天我们也在课前进行了测量，谁来汇报一下你昨天测量的数据呢？嗯，你来说说小磊。哎，你也来。嗯，好，我们看一看。这么快就收集了那么多的数据，真好。请同学们细心观察上面的数据，你有什么发现吗？嗯，你来接着说。嗯，没错，他这里发现了相同型号的自行车，量出来蹬一圈所走的距离不一样，也就是说它们之间存在误差。很好，既然有误差了，有没有更加准确的办法呢？计算。唉，好，计算。你来说说，小童。诶，不错，听懂了吗？真棒。
他说自行车滚一圈相当于车轮一个周长，如果它滚了两圈的话，就相当于周长乘2，就可以用车轮的周长乘车轮转动的圈数来求出它到底走多远啊。真棒。有时候好的思路就能撬动整个问题。我把你的想法写下来。
那到底蹬一圈，自行车的车轮转动几圈呢？你说说。诶，简单吗？就是肯定会转一圈嘛。诶，你不同意，你认为蹬一圈，自行车不一定转一圈。看来大家对于这个想法有不同的争议，既然这样，我们一起来探究竟。请同学们利用小组内的自行车进行小组合作，边操作边观察边思考以下两个问题。
到底蹬一圈是怎么转动一圈的呢？而车轮转动的圈数又跟什么转动的圈数有关系呢？请同学们开始讨论，看看谁最快发现，有困难的同学就可以举手，老师下来帮忙。好，开始。这么快就有发现。哎，你也有发现？嗯，你的手举得最高，你来说说。哦，他发现了，原来蹬一圈就相当于前齿轮转一圈，他发现了前齿轮跟脚踏板是连在一起的，所以蹬一圈相当于前齿轮就转了一圈。观察真细致到位，真棒。还有不一样的发现吗？你来说说。嗯，他发现车轮转动的圈数其实就是后齿轮转动的圈数，因为后齿轮跟车轮是连在一起的，所以就发现了后齿轮转动的圈数相当于车轮转动的圈数。真棒。通过刚才我们的研究，我们得出的结论是，蹬一圈相当于前齿轮转了一圈，而车轮转动的圈数实际上相当于后齿轮转动的圈数啊。现在解决这一个问题的关键就是在于前齿轮转一圈，后齿轮转几圈呢？谁知道，看来我们又要进行下一轮的研究啦。请同学们继续利用我们刚才的自行车，按照实验报告的要求，小组合作，慢慢地转动齿轮。思考一下，前齿轮转一圈，转了几个齿，后齿轮又转了几圈，又转过几个齿呢？如果前齿轮继续往下面转动两圈、3圈，你又发现了什么呢？请你细心地转一转，看一看。开始。嗯，我看到有的同学转着转着就乱了，数乱了，因为齿数太多，有没有好办法呢？嗯，不错，要做记号，做一个记号，我们在旋转的时候就可以更清楚、更细致。不错不错，很好，可以了吗？是不是发现了？哎，你来试试吧。
哦，他发现了前后齿轮转过的总齿数是相等的，你能详细讲讲吗？嗯，真好，不错，他不仅通过数据来说明，而且还想到了课前的活动，就是课前进行模拟齿轮的活动，前面一个戴红帽的同学转了一下，后面戴红帽的同学也转了一下，他们转动的次数是一样的，不错。看来课前的研究收获了不少东西嘛，很好，请看。
因为后齿轮是由前齿轮通过链条带动的，所以前齿轮转了一个齿，后齿轮肯定也会转过一个齿，所以它们转过的总齿数是相等的。太棒了，了不起啊，还有不一样的发现吗？唉，你来说说小兰同学，大家发现的是，后齿轮转动的圈数是前齿轮的3倍，你能详细讲讲吗？嗯，不错，前齿轮转了一圈，一共转了30个齿，而后齿轮转一圈才10个齿，所以它要转够3圈才够30个齿，所以后齿轮转动的圈数是前齿轮转动的3倍。
我们看一看，当前齿轮转动一圈的时候，后齿轮却转了3圈，如果继续转动呢？前齿轮转了两圈，后齿轮就转动6圈。同样的道理，前齿轮转3圈后齿轮可能就转了9圈，以此类推。但是它们转过的总齿数都是相等的，正好看一看哦。通过刚才的研究，我们发现了这样一种关系，那你能不能够再利用计算的方法算一算到底前后齿轮转过的总齿数吗？乘法，a很好，30×1等于30，10×3也等于30，那根据上面的发现，你还有什么收获吗？诶，不错，就是前齿轮的齿数乘前齿轮的转数等于后齿轮的齿数乘后齿轮的转数。
没想到在这一个自行车里面还蕴含了这样一种等量关系，那你能不能够利用这一种等量关系，去求出我们今天的问题，到底蹬一圈车轮转动了几圈呢？请继续展开小组讨论，写一写，看看谁能写出来，有困难的也可以举手，老师就过去帮忙。嗯，好，好了吗？诶，你来说说吧，小东，嗯，真好。有没有听懂小东说什么？他说得不仅声音响亮，而且很有条理，他认为蹬一圈相当于前齿轮，就转了一圈就得到这一条等式，那前齿轮的齿数乘一相当于本身，所以就是前齿轮的齿数等于后齿轮的齿数乘后齿轮的转数，再根据乘法各部分之间的关系，就可以得出后齿轮的转数等于前齿轮的齿数，除以后齿轮的齿数。掌声送给他，太厉害了，这么难的知识这么快就可以解决出来，你看，这样我们就可以解决问题了。唉，还有补充，你来说说。嗯，他还利用了比例的办法来解决，就是利用了比例的基本性质，把这一条等式变成这样一个比例，然后再根据蹬一圈前齿轮转了一圈就变成这样。因为后齿轮的转速除以一还是等于本身，所以就可以得出后齿轮的转速等于前齿轮的齿数。后齿轮的齿数也是相当于前齿轮的齿数，除以后齿轮的齿数。真棒，用不同的方法都能解决。
现在我们回归到刚才的这一条公式，车轮转动的圈数相当于……嗯，后齿轮转动的圈数，所以这一条公式就可以变为车轮的周长乘以前齿轮的齿数除以后齿轮的齿数，一起读一读。这样我们就可以解决刚才的问题。那现在同学们看一看，你能不能够利用刚才的这个算式，算一算我们课前测量的那两种自行车到底蹬一圈能走多远吗？好，开始吧。嗯，你来说说同学帮。诶，算得真好，看来还是公式法又准确又快捷。那请同学们回顾一下我们课前的比赛，这一辆就是老师骑的那一辆变速自行车，你觉得变速自行车是怎样实现变速的吗？你说说。嗯，真好，就是变速自行车，它不止一个前齿轮，也不止一个后齿轮，通过不同的搭配来实现变速的作用。在这里看，这就是老师骑的那一辆变速自行车的数据。那你告诉老师这一种变速自行车可以变出多少种不同的速度呢？你来猜猜。
6种，12种诶，哪一个才是对的？我们看一看。我们可以通过第一个前齿轮分别跟后面的6个齿轮组成6种不同的搭配。同样的道理，另外一个前齿轮也可以分别跟后面的6个齿轮搭成另外6种不同的方案，所以一共有12种。请同学们根据这一种搭配的方案完成课本上的这一份表格，并且思考。在蹬相同的圈数时，哪一种组合的自行车走得更远呢？你来想想对不对？哪一种组合走得更远？因为它的比值最大，因为根据刚才我们的公式发现，前齿轮的齿数比后齿轮的齿数，它们的比值越大，蹬一圈所走的距离就会越远，所以蹬相同的圈数肯定就会走得越远啊。那请同学们想一想，老师因为哪一种组合输了比赛呢？嗯，是这一种，因为它的比值最小，正好就是这一种了。那请你们算一算老师的这辆自行车和小杰的这辆自行车蹬一圈所走的数据好吗？算一算吗？算，你来说怎么样？嗯，原来老师这种组合蹬一圈的距离比小杰要近，所以难怪会输掉比赛，就是因为这种齿轮组合的原因。