我今天说课的内容是北师版五年级下册分数除法的运算。接下来，我将以“主动迁移，探究融通运算一致性”为主题，和大家进行交流。
在执教分数除法单元时，我们常会有这样的困惑：分数除法的算法并不复杂，但学生实际应用时却总会出现各种问题。于是，我们开始思考背后的原因。为此，我们对小学阶段除法的学习进行了纵向梳理，试图从学生的学习历程中寻找答案。
小学阶段除法的学习可分为三个板块，其中整数除法和小数除法是学生已有的学习经验。纵向梳理过程中，我们发现，虽然整数和小数形式不同，但它们都是在进行十进制位值制，由位值控制着计数单位，并明确记录着计数单位的个数。它们的运算过程都是按照数位进行拆分，然后进行计数单位的转化，最终实现计数单位个数的运算。而分数运算与它们有着明显不同，但分数也是在进行计数单位和计数单位个数的组成。所以我们想，能否从运算一致性出发，借助学生已有的整数除法和小数除法学习经验，从数的意义和运算的意义来帮助学生理解呢？
在后续查阅文献过程中，专家的一些想法给了我们启示。书中提到，小学教学中，整数的四则运算体现了一致性，所有运算都是基于计数单位展开的，而分数教学的研究更应关注与整数、小数教学的整体性和一致性。专家的发现让我们更加坚定了研究方向，但我们想知道这样的教学设计是否符合学生的思维。
就此，我们展开了学生调研，并设计了调研题目及对应的调研目标。在解决“4/5除以2”这个问题时，60.9%的调研学生选择了平分计数单位的方法解答。值得关注的是，这其中包含所有之前未接触过此类问题的学生，我们认为这部分学生的思维可能更接近本源。除这部分学生外，我们追访了其他选择该方法的孩子，他们也表示这种方法更好理解。由此可见，平分分数单位的方法可能更有助于学生理解，也是数学学习的基础，这点与教材中本单元起始问题的安排一致。
在解决另外三个问题时，学生的方法更为丰富。他们利用学过的知识，将其转换成整数除法和分数除法来解决。但看到这些丰富方法后，我们又产生了疑问：为什么孩子有这么多想法，还会出现我们最初提到的那些问题呢？史宁中教授在书中提到，小学教学中，除数是分数时的运算是教学难点之一，我们的调研结果也证明了这一点。由此可见，很多情况下，孩子只是记住了运算法则，并未真正理解其中道理。那么，倒数的方法怎样出现、何时出现才能更有助于学生理解呢？
带着这样的思考，我们再次回看学生的方法，发现这些方法其实就是在进行计数单位的转换，这与我们之前小结的整体运算方法一致，且与整数运算方法有共通性。我们熟悉的倒数法也可以用这种方法推导出来，古籍中也有相关记载。
带着这些思考，我们对本单元的具体观念进行了梳理：数的意义和运算的意义是探寻算法的基础，每种算法都需要算理支撑，学生需经过主动规划和探索获得通法，通法应基于计数单位的转换和计数单位个数的运算，在此过程中发展学生的运算能力和推理能力。基于具体观念，我们确定了本单元的教学目标，并对单元内容做出一些调整：
第一，尝试从运算一致性出发，借助计数单位个数的运算，帮助学生理解算法。
第二，原教材节奏中，倒数概念出现过早，不利于学生丰富思维方法的展现。所以我们尝试增加一课时，拉长学习过程，暂缓倒数法的出现，让学生丰富的思维得以展现。
第三，本单元学习已是小学运算学习的最后一个单元，学生已有一定基础。结合自我决定理论，我们尝试在最开始安排一个单元引导课内容，让学生自主对整个单元的学习进行整体规划。这是我们调整后的单元结构：将单元主题确定为“主动迁移，探究融通运算一致性”，试图通过四个课时、六个核心问题和十个课堂活动，帮助学生从等分除、包含除两个除法意义，支撑他们理解基于计数单位运算的通法形成，同时在主动建构过程中发展学生的运算能力和推理能力。
接下来，我将结合课堂实施进行具体说明。
第一课时是单元引导课，有两个任务：讨论标准和规划路径。课时开始，我们先确定研究内容，孩子们围绕核心问题讨论后，得出四个维度的结论：分数除法的意义、算法、算理和应用，这与我们确定的教学重点比较一致。第二个核心问题是：你心中的理想算法应该满足什么样的条件？孩子们讨论后认为，算法应该简便、对所有题适用且有道理。确定算法标准后，孩子们思考如何找到满足条件的通法，初步确定了一条由易到难的研究路径：从最基础、最好理解的分数除以整数入手，再将发现的算法逐步应用到整数除以分数和分数除以分数中。
第二课时，正式进入分数除法运算的学习。学生借助除法等分除的意义，得到分母不变，分子除以整数的算法，并通过细分计数单位，将其推广到分子不能被整数整除的情况。带着初步完善的算法，我们进入第三课时。
第三课时，首先确定本节课的研究对象，孩子们列举出了丰富的情况，在列举过程中，他们已开始思考算法的通用性。尝试用上节课算法解决问题时，冲突产生了，孩子们说之前的方法不行了。聚焦关键问题后，我们再次安排小组研究。小组探究后，孩子们利用商不变性质，将问题转换成14除以15并找到答案。但孩子们并不满足，因为上节课对算理的探索已在心中扎根，他们开始思考14除以15背后的道理。此时，我适时引导孩子们从除法的意义反思整个学习过程。孩子们有了新发现，更新了算法，小结出分子除以分子，分母除以分母，对算理的探寻也从等分除扩展到包含除。他们尝试用这节课发现的算法解决上节课问题，发现两者可以建立联系，然后用此算法解决一开始列出的问题，解决过程中又遇到困难。他们思考后明确，最开始通分那一步是在统一单位，不应省略，进一步完善了算法。此时，算法得到孩子们的普遍认可，但为了更抽象概括，方便告知他人，最终采用字母方式进行概括，孩子们找到了心目中的通法。