好，上课。同学们好，请坐好。我们先来回顾一下，上节课我们学习了元素和集合之间的关系，那它们之间有几种关系呢？错，两种，分别是属于和不属于。
好，那老师想问，两个集合之间有没有关系呢？好，这节课我们就来研究一下集合的基本关系。
好，我们首先来看大屏幕。如果在一个班级中，我假设所有同学组成的集合为(s)，女生组成的集合为(f)。
那大家看一下这两个集合(s)和(f)之间有什么关系啊？你们说这个(f)集合小一点，(s)集合大一点，是吧？好，那你们能不能从集合的元素的角度来考虑一下两个集合什么关系啊？你们说(f)中是女同学，(s)中可能也是有男同学也有女同学，这样子。好，那也就是说这个(f)中的女同学我都可以在(s)中找到，是这个意思吗？
好，那我们再来看一个例子，假如说(a)集合是({1,2})，(b)集合是({1,2,3,4})。好，你们能不能再从元素和集合的角度考虑一下这两个集合的关系？你来说。嘿，请坐。他说非常好，他说(a)中的(1)，我可以在(b)中找到，(a)中的(2)我又可以在(b)中找到。
好，所以我们把这种集合关系给它叫做包含关系，我把(a)集合叫做(b)集合的子集。好，那你们能不能根据这两个例子试着来定义一下，什么叫做(a)是(b)的子集呢。好，试着来说一说，你说。诶，你说(a)集合中的元素可以在(b)集合中找到，是这样吗？哦，假如说老师这给你添加了个(5)到(a)集合，里面我添加了(5)，我发现(1)可以找到，(2)可以找，但是(5)怎么找不能找到？好，所以说我定义子集应该是任意一个，每一个所有的元素我都可以在(b)中找到。
好，所以我们的完整定义是：如果集合(a)中的任意一个元素在集合(b)中都能找到，我们就说(a)是(b)的子集。
好，我们把这种关系记作(a)包含于(b)或者(b)包含(a)。其中这个我们读作(a)包含于(b)，或者我们也可以读作(b)包含(a)。
好，大家注意一下包含于和包含这两个的开口方向。好，那接着老师要问你问题，我们在学习元素和集合间的符号是用(\in)这样子的符号来表示，那我们今天又学习了一个新符号。好，大家能不能说一下这两个符号有什么区别啊？长得不一样，是吗？好，除了长得不一样之外还有没有其他不一样？好，你说。他说得非常好，他说老师这个符号(\in)它表示的是元素和集合的关系，这个符号(\subseteq)它表示的是集合与集合的关系。好，说得非常严谨啊。
嗯，好，那我们在这个定义中一定要注意是任意，也就是每一个所有的意思。
那我们再回到我们刚才的例子，这个一开始的例子，那大家能不能表示一下(s)和(f)之间的关系？好，你来。好，非常好，(f)应该是包含于(s)。
那我们再来看一下，如果在这个例子当中，我说诶这个班级中他有男生，那请问有男生的话(f)和(s)什么关系呢？那么是刚才你们说如果这个班里面的同学只有女生的话。我们考虑一下一种情形，如果老师给你一个(a)集合，它是({1,2,3})，那请大家考虑一下它是否这个(a)集合是否包含于自己呢？我们要怎么来判断？那非常好，我们要根据定义来判断，那也就是说我怎么来判断(a)是包含于本身的呢？我们看定义，(a)中的任意一个元素，(1)、(2)、(3)，那是否能够在它本身的这个集合中找到呢？是，所以我们说一个集合是包含于本身的。