篇《夺冠》中提到一句台词：“未来的体育靠的不是人，是科技。”这是由于中国队在与巴西队对战的时候，通过信息技术了解到场上十二号攻击较多，且斜线的成功率较高，因此调整了对战策略。
在我们的生活当中，有许多轨迹都是可以研究的。之前学习解析几何时，我们已经研究过直线的方程以及性质。而生活中还有许多非直线的轨迹，例如排球运动的轨迹、排球运动员防守的轨迹等等。在理想状态下，我们可以将每个排球运动员的防守范围看成一个圆，因此我们可以研究这些轨迹的边缘角落。圆是我们日常生活中最常见的图形。早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派就认为最美的平面图形是圆，它是早期人类部落图腾常见的图像，同时也是中华文明的一些常见特征。今天我们就主要来研究圆的标准方程。
有同学提到可以从几何和代数的角度来研究圆。下面我们一起来看，如果从几何角度研究，确定一个圆的基本要素有哪些呢？非常好，是圆心和半径。这两个要素对圆有着怎样的影响呢？圆心确定了位置，半径确定了大小。接下来请同学们回顾一下初中所学圆的定义是什么。这位同学你来谈一谈，非常好。墨子曾说过：“圆，一中同长也。”其实在一个平面内，线段OA绕着一个固定的点O旋转，其另外一个端点所形成的图形，我们就把它叫做圆。这位同学从动态的角度描述了圆，还有补充吗？你来说一说，噢，非常好。你认为平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。你从静态的角度挖掘出圆的轨迹定义。
其实在高中数学中，通常用点的集合来描述圆。我们可以利用集合的语言来对它进行定义吗？要找出什么关系呢？非常好，实际上就是要找出圆上任意一点所满足的共同关系式，利用集合的描述语言就可以表示出来，即({P\mid\vert PA\vert = r})，这样我们就从集合的角度重新定义了圆。
从集合角度以及集合语言两方面我们都对圆进行了定义，这就是圆的数学之美。圆的几何语言似乎不能帮助我们检索到圆上任意一点，那我们来看看还需要找一找圆的标准方程。我们知道直线可以用一个二元一次方程来表示，那圆可以找到一个方程来表示吗？它的形式又是如何呢？接下来让我们一起来回顾一下直线方程的推导过程，请一位同学来回顾一下。
噢，你来说，非常好。你从集合要素的角度关注到确定一条直线的要素主要是点和方向，这两个关键要素刚好都可以用坐标化来表示，经过一定推导可以得出5种不同的直线方程。在这行与数的转化过程中，最关键的一步是什么呢？找出关系。谁的关系？噢，原来是要找出直线上任意一点所满足的几何关系式，将这样的几何关系式进行代数化不断推导，便可以得到不同的直线方程。也就是说在直线方程的推导过程中，限定几何条件，进而再将几何条件代数化是一个关键步骤。同学们可以类比这样的过程，对圆的标准方程的推导进行猜想吗？这位同学你似乎胸有成竹，你来分享一下。
非常好，你提到在前面定义的过程中我们已经找到了限定几何条件，在这个过程中只需要再补充建系的过程，进而就可以形成完整的研究曲线的一般步骤。这样的过程，在前面的学习过程中，我们曾经用一句话来定义过，同学们还记得是什么吗？非常好，“建设现代化”，即建系、设点、限定条件、进而进行代数化，最后化简，得到最终的式子。老师也观察到这位同学似乎已经研究出了相关的代数式，你可以展示一下吗？我们一起来看你的推导过程，非常好。首先你进行了建系的过程，其中圆心的坐标为((a,b))，半径设为(r)，那么圆上任意一点我们就用(M)来表示。这样设点的过程也完成了，如果点满足在圆上，那么它的充要条件，即我们所限定的条件，可以经过一定的代数化展示出来。怎么代数化呢？非常好，利用两点之间的距离公式，即(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r)。那么这样的一个代数关系式两边再进行平方就可以化简而得。你的探究过程非常严谨，还有同学有补充吗？哼，你来说还要考虑到特殊的情况，即圆心在原点处的圆标准方程又应该如何呢？同样，在建系的过程中，我们知道圆心的坐标是((0,0))，那么点(M)在圆上的充要条件仍然满足这样的几何关系式。因此在代数化的过程中，我们可以化简而得(x^2 + y^2 = r^2)。这样子我们便可以得到当圆心为((a,b))，半径为(r)的圆，它的标准方程如上；圆心在特殊点，也就是原点处的方程如上。
那现在有一个问题，这样推导出来的方程就一定是圆的方程了吗？还需要考虑什么？还需要考虑这个方程上所有的点是否在圆上，在吗？在的。其次这个圆上所有的点满足这个方程吗？也满足，双向满足说明这个方程就是圆的标准方程，这样子我们就将圆的标准方程推导出来了。我们一起来看一下圆的标准方程当中最关键的其实就是这三个参数(a)、(b)、(r)，将其求解出来，方程就可以出来了。下面同学们来看一个问题，下列方程是标准方程吗？如果是，请说明下列方程当中的圆心和半径。这位同学你来谈一谈。嗯，首先第一个和第二个方程它肯定就是圆的标准方程，因此它的圆心和半径如上，非常好。第三个方程，它的圆心是((a,-b))才对。那半径是(m)吗？有同学说这个半径(m)，它的正负是未知的，所以应该要取(m)的绝对值。太好了，你关注到了这样的取值范围，还有同学有不同意见，你来说一说。你认为当(m = 0)的时候，这个方程根本就不是圆的标准方程，非常好，我们关于(r)的取值，也就是半径的取值要满足大于(0)才能够是圆的方程。
那第四个方程显然不是，因为(-3\lt0)不符合要求。既然通过圆的方程可以检索到圆心和半径，反过来，圆心和半径可以检索出圆的方程吗？一起来看。请你根据所给的条件写出圆的标准方程。
我们来看一下这位同学的解答过程。老师想请一位同学上来点评一下，你来说一说。嗯，非常好。你认为第一个方程和第二个方程它都是要求圆心在(x)轴上，它们的圆心坐标都可以表示为((a,0))，半径均已给出，因此它的结果是准确的。继续第二个方程，圆心在(y)轴上，所以它的圆心坐标为((0,b))，半径已知，所以方程也是准确的。那第四个方程，噢，你很细心。你发现了，这位同学不小心将第四个方程当中的圆心误认为是在(y)轴上，它实际应该是与(y)轴相切，那么它的圆心坐标应该是((a,b))，它的半径应该是刚好它的横坐标也就是(a)，所以它的正确表达式应该是((x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2)，非常好。你的点评非常到位。
不管是从半径和圆心去检索圆，还是从标准方程当中去找出半径和圆心的坐标，都是一个双向的过程。那相比起来，圆的标准方程比集合语言还有更优势的地方吗？是否可以检索出圆上任意一点的位置呢？大家来看看这道例题。请写出圆心为(A)，半径长为(5)的圆的方程，并判断点(M_1)和点(M_2)是否在这个圆上。这位同学，你似乎完成得很快，你来分享一下。首先你写出了该圆的标准方程，如上。其次你通过画图的方法快速检索出来(M_2)是在这个圆内的，但是(M_1)是否在这个圆上不太好确定了，那怎么办？有没有同学有其他的想法？嗯，你来说说。你认为应该要将点的坐标代入到圆的标准方程中，如果它满足这个方程的话，那么它一定在这个圆上，如果它不满足这个方程的话，那么它一定不在这个圆上。非常好，其中点(M_1)代入我们的这个方程，实际上它就是不满足的。说明了什么？形少数时难入微，我们还需要从代数的角度对这个问题进行一个刻画。