各位同学们好，从我们咿咿呀呀学语开始，大人就开始教我们数数，“一只青蛙，一张嘴，两只眼睛四条腿”。其实数数也是能数出诗意的，你看这两位边上学边数数的小朋友，数数可是一门大学问。
我们知道列举法是计数的最基本方法，但是在我们的现实生活中经常涉及到较大数量的计数问题，这个时候列举法的效率就不高。比如以下车牌号的问题。我们传统的车牌号采用的是5位序列编码的规则，由10个阿拉伯数字和除OI之外的24个英文字母组成，并且英文字母最多两个，那么该市发牌机关最多可以发放多少张不同的汽车牌照呢？对于这个问题，你还能一个一个地数出来吗？诶，数不清了。因此我们要寻找系统的计数方法来提高数数的效率。今天我们就一起来学习第六章计数原理。第一节分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
我们首先来看一组具有共性的实际背景，请同学们围绕“要完成一件什么事情，怎么完成这件事情和如何计算完成这件事情的方法总数”这三个问题来进行思考。
好，第一个问题，我们一起来：在高考前，你准备从你的家乡a市去北京看一下你心仪的学校。一天中飞机有4个班次，火车有三个班次，那么乘坐这些工具从a市到北京有多少种不同的方法呢？
这里我们要完成的一件事情是什么？从a市到北京。你准备如何完成？乘飞机或者乘火车。请问这里只乘飞机或者只乘火车能否独立地完成这件事情呢？是可以的。所以完成这件事情的方法总数，就是乘飞机的方法数加上乘火车的方法数，共7种。
接下来请类比这种方式来回答剩下的两个问题。
好，来，这位同学，第二个你说哦，这里要完成的一件事情是给报告厅的座位编号，你准备如何完成呢？用一个英文字母或者一个阿拉伯数字。请问这里只用一个英文字母或者只用一个阿拉伯数字，又是否能独立地完成该件事情？还是可以。所以方法总数就是英文字母的数量加上阿拉伯数字的数量，共36种。
很好，请坐。第三个问题，下一位同学，这里要完成的事情是选一位同学来担任课代表，准备怎么完成？在男生中选一位，或者在女生中选一位。在这里只在男生中选一位，或者只在女生中选一位，还是能独立完成这件事情，所以完成的方法总数就是选男生的方法数加上选女生的方法数。很好，请坐。
接下来请大家根据我们这里的3个问题找它的共性，你能举出我们生活中一些类似的例子来吗？分享这位同学的例子哦。他说我们上午有5节课，下午有3节课，如果只排一节数学课的话，一共就有5 + 3 = 8种不同的排法，非常好，请坐。接下来根据我们自己所举的例子以及这三个问题来归纳这些问题有何共同特征，来请各小组交流讨论。
好，第一组代表来你说说哦。他说首先在计算的层面上我们用的是加法。并且这里完成一件事情，都有两类，我们是分类来实现的，方法的总数就是两类的方法数之和。很好，请坐，来，还有吗？来，你来补充。哦，我们这位同学说这里我们每一类的每一种方法都能独立地完成这件事情，非常好。
这样我们就可以归纳出分类加法计数原理。即完成一件事情有两类不同的方案，那么完成这件事情的方法数就等于两类的方案数之和。
接下来我们来看一个实际的例子。高考成绩出来之后，你就要准备填写高考志愿了。你了解到a、b两所大学都有一些你感兴趣的强项专业，如果只选一种专业，你有多少种不同的选法呢？
这里我们要完成的一件事情是选择一种专业，那么你准备怎么完成呢？在a大学或者b大学中选一种，所以方法数就是5 + 4 = 9种。
我们在这个基础上略加变化一下。如果数学也是a大学的强项专业，那么我们用6 + 4 = 10这种算法来计算方法总数，你认为正确吗？哦，不正确。为什么？哦，这样的话数学就重复计算了。那也就是说我们在使用分类加法计数原理的时候，要注意这里的分类是不重不漏的。
我们再变化一下，如果还有一所c大学也有两个你感兴趣的专业，那这个时候你又有多少种不同的选法？把三个学校的强项专业相加，也就是5 + 4 + 2 = 11种。为什么？因为这两个专业跟前面的专业都是不重复的，不错。那如果我们还有第四所大学，第五所大学都有一些你感兴趣的强项专业，并且与它们不重复，那还是把它们都加起来，那也就是说我们可以把分类加法中这里的两类进行推广。不错，有两类我们可以推广到n类，那么这个时候完成这件事情的方法总数仍然等于每一类的方法数之和。特别要注意，这里的每一类仍然是要诶不重不漏，并且每一类的每一种方法都能独立地完成这件事情，也就是这里类都是独立的。
好，我们再来看另一组具有共性的实际背景，请同学们同样地围绕这三个问题进行思考。
第一个问题，我们还是一起来。你先从a市到b市，飞机有4班，一天后再从b市到北京，火车有3班。乘坐这些交通工具从a市经b市到北京，有多少种不同的走法呢？
这里我们要完成一件什么事情？从a市经b市到北京。这个时候你准备如何完成了？第一天先乘飞机从a市到b市，第二天再乘火车到达北京。请问这里只乘飞机或者只乘火车又是否能独立地完成这件事情呢？哦，不可以了。那也就是说我们必须要分两步才能完成，那这个时候完成方法的总数又如何计算呢？我们不妨先画一个示意图。